Voorbeeldopgaven

Voorbeelden van Mathekalender-opgaven

Hieronder staan twee voorbeelden van Mathekalender-opgaven. Nog veel meer opgaven (en uitwerkingen) vind je in het Opgavenarchief.

Opgave 1: Spelen met koffers

In een lange rij staan 101 koffers, die op een lopend genummerd zijn met de getallen 0,1, 2, ..., 100. De Grinch en Knecht Ruprecht spelen met deze koffers het zogenaamde T-koffer-spel (waarbij T een positief geheel getal is).

De Grinch kiest twee getallen x en y met 0≤x≤100, 0≤y≤100 en |x-y|≤50, en verstopt een kurkentrekker in koffer x en een fles rum in koffer y. Alle andere koffers blijven leeg. Knecht Ruprecht mag dan in de rij in totaal T koffers openmaken: de eerste koffer mag Ruprecht willekeurig kiezen. Elke volgende koffer mag alleen geopend worden, wanneer aangrenzend links of rechts daarvan reeds een koffer geopend is. Knecht Ruprecht wint het spel, wanneer hij zowel de kurkentrekker als de fles rum vindt; anders wint de Grinch. Beide spelers maken hun keuzes die voor henzelf het meest gunstig zijn.

We definiëren p (respectievelijk q en r) als de kans dat Ruprecht het 60-kofferspel (respectievelijk het 70-kofferspel, en het 80-kofferspel) wint. Welke van de volgende uitspraken is waar?

1. p = 30/101, en q = 40/101, en r = 50/101.
2. p = 60/101, en q = 70/101, en r = 80/101.
3. p = 3/9, en q = 4/9, en r = 5/9.
4. p = 3/10, en q = 4/10, en r = 5/10.
5. p = 3/11, en q = 4/11, en r = 5/11.
6. p = 3/12, en q = 4/12, en r = 5/12
7. p = 1/6, en q = 1/3, en r = 2/3.
8. p = 1/4, en q = 1/3, en r = 1/2.
9. p = 1/3, en q = 1/3, en r = 1/3.
10. p = 1/3, en q = 1/3, en r = 1/2.

Oplossing opgave 1

Wij maken een analyse die alle mogelijke waarden van T in beschouwing neemt.

Het is duidelijk dat voor T<50 Grinch altijd wint door bijvoorbeeld de kurkentrekker in koﬀer 0 en de ﬂes rum in koﬀer 50 te verbergen. Voor T = 101 is natuurlijk altijd knecht Ruprecht de winnaar; hij mag immers alle 101 koﬀers openen. Wij tonen nu aan dat de kans dat Ruprecht wint gelijk is aan 1/3 indien 51≤T≤75 en gelijk is aan 1/2 indien 76≤T≤100. Daarmee is optie 10 het correcte antwoord.

(1) Voor 76≤T≤100 wint Ruprecht het spel met een kans hoogstens gelijk aan 1/2: Met kans 1/2 verstopt Grinch beide voorwerpen in koﬀer 0 en met kans 1/2 verstopt hij de beide voorwerpen in koﬀer 100. Omdat Ruprecht hoogstens één van de beide koﬀers 0 en 100 kan openen zal zijn kans om te winnen nooit groter zijn dan 1/2.
(2) Voor 51≤T≤75 wint Ruprecht het spel met kans hoogstens gelijk aan 1/3: Met kans 1/3 verstopt Grinch beide voorwerpen in de koﬀers 0 en 25 (Mogelijkheid A), met kans 1/3 in de koﬀers 25 en 75 (Mogelijkheid B) en met kans 1/3 in de koﬀers 75 en 100 (Mogelijkheid C). Omdat Ruprecht hooguit één van de koﬀers 0 en 75 mag openen en hoogstens één van de koﬀers 25 en 100, hoeft hij hoogstens één van de drie mogelijkheden A, B, C verder te inspecteren.
(3) Voor76≤T≤100, wint Ruprecht het spel met een kans minstens gelijk aan 1/2: Met kans 1/2 opent Ruprecht de koﬀers 25, ..., 75 (Mogelijkheid A) en met kans 1/2 opent hij de koﬀers 25, ..., 100 (Mogelijkheid B). In geval Grinch beide voorwerpen in de koﬀers 0, ..., 75 verstopt, dan wint Ruprecht met kans 1/2 bij mogelijkheid A. In geval Grinch een of beide voorwerpen in de koﬀers 76, ..., 100 verstopt, dan wint Ruprecht met kans 1/2 bij mogelijkheid B.
(4) Voor 51≤T≤75 wint Ruprecht het spel met een kans van tenminste 1/3:

Mogelijkheid A: Met kans 1/3 opent Ruprecht de koﬀers 0, 1,..., 50.
Mogelijkheid B: Met kans 1/3 opent Ruprecht de koﬀers 50,..., 100.
Mogelijkheid C: Met kans 1/3 opent Ruprecht in eerste instantie de koﬀers 50, 51, 52, ... Indien hij een voorwerp ontdekt, dan opent hij daarna de koﬀers 49, 48, 47, ....

Indien Grinch beide voorwerpen in de koﬀers 0, ..., 50 verstopt, dan wint Ruprecht met een kans van 1/3 bij mogelijkheid A.
Indien Grinch beide voorwerpen in de koﬀers 50, ..., 100 verstopt, dan wint Ruprecht met een kans van 1/3 bij mogelijkheid B.
Indien Grinch een van de twee voorwerpen in de koﬀers 0, ..., 49 verstopt, en de andere in de koﬀers 51,... 100, dan wint Ruprecht bij mogelijkheid C met een kans van 1/3.

Opgave 2: Kersttoernooi

De vier voetbalteams van de steden Icetown, Frostville, Glacierhampton en Coldburry hebben deelgenomen aan een internationaal Kersttoernooi. In dit toernooi speelt elk team éénmaal tegen ieder ander team. Een team behaalt bij winst (W) 3 punten, bij een gelijkspel (D) 1 punt en bij verlies (L) geen enkel punt. Alle zes wedstrijden hebben een verschillende uitslag. Als bijvoorbeeld een wedstrijd eindigt in 3:2 dan komt bij de andere wedstijden de uitslag 3:2 of 2:3 niet voor. De gescoorde punten en de voor- en tegendoelpunten van de teams zijn verwerkt in de volgende tabel.

Welke van de volgende uitspraken is waar?

Coldbury heeft de wedstrijd tegen Glacierhampton gewonnen met 1:0.
Coldbury verloor de wedstrijd tegen Glacierhampton met 0:1.
Coldbury heeft de wedstrijd tegen Glacierhampton gewonnen met 2:0.
Coldbury verloor de wedstrijd tegen Glacierhampton met 0:2.
Coldbury heeft de wedstrijd tegen Glacierhampton gewonen met 3:0.
Coldbury verloor de wedstrijd tegen Glacierhampton met 0:3.
Coldbury heeft de wedstrijd tegen Glacierhampton gewonnen met 2:1.
Coldbury verloor de wedstrijd tegen Glacierhampton met 1:2.
Coldbury heeft de wedstrijd tegen Glacierhampton gewonnen met 3:1.
Coldbury verloor de wedstrijd tegen Glacierhampton met 1:3.

Oplossing opgave 2

Klik hier voor de oplossing.