Voorbeeld

Voorbeeld
4TU Delft
4TU Eindhoven
4TU Twente
4TU Wageningen

Voorbeeld van een Mathekalender opgave:

Een adventskalender maakt de aanloop naar de feestdagen spannend doordat in de periode van 1 tot en met 24 december dagelijks een luikje van de kalender kan worden geopend, waarachter een lekkernij (meestal van chocola) wordt verborgen. De Mathekalender is een variatie daarop. De wiskundige puzzels zijn vaak opgaven in de sfeer van de adventstijd (1 december-24 december), waarin de kerstman, zijn knechten en andere fictieve wezens een figurerende rol spelen. Een voorbeeld is de opgave van het kofferspel met Ruprecht, een knecht van de Kerstman en de Grinch een monsterlijk wezen dat normaal afgezonderd op een berg leeft:

In een lange rij staan 101 koffers, die op een lopend genummerd zijn met de getallen 0,1, 2, ..., 100. De Grinch en Knecht Ruprecht spelen met deze koffers het zogenaamde T-koffer-spel (waarbij T een positief geheel getal is).
De Grinch kiest twee getallen x en y met 0≤x≤100, 0≤y≤100 en |x-y|≤50, en verstopt een kurkentrekker in koffer x en een fles rum in koffer y. Alle andere koffers blijven leeg.
Knecht Ruprecht mag dan in de rij in totaal T koffers openmaken: de eerste koffer mag Ruprecht willekeurig kiezen. Elke volgende koffer mag alleen geopend worden, wanneer aangrenzend links of rechts daarvan reeds een koffer geopend is.
Knecht Ruprecht wint het spel, wanneer hij zowel de kurkentrekker als de fles rum vindt;anders wint de Grinch. Beide spelers maken hun keuzes die voor henzelf het meest gunstig zijn.
We definiëren p (respectievelijk q en r) als de kans dat Ruprecht het 60-kofferspel (respectievelijk het 70-kofferspel, en het 80-kofferspel) wint. Welke van de volgende uitspraken is waar?

1. p = 30/101, en q = 40/101, en r = 50/101.
2. p = 60/101, en q = 70/101, en r = 80/101.
3. p = 3/9, en q = 4/9, en r = 5/9.
4. p = 3/10, en q = 4/10, en r = 5/10.
5. p = 3/11, en q = 4/11, en r = 5/11.
6. p = 3/12, en q = 4/12, en r = 5/12
7. p = 1/6, en q = 1/3, en r = 2/3.
8. p = 1/4, en q = 1/3, en r = 1/2.
9. p = 1/3, en q = 1/3, en r = 1/3.
10. p = 1/3, en q = 1/3, en r = 1/2.

De oplossing:

Wij maken een analyse die alle mogelijke waarden van T in beschouwing neemt.

Het is duidelijk dat voor T : 50 Grinch altijd wint door bijvoorbeeld de kurkentrekker in koffer 0 en de fles rum in koffer 50 te verbergen. Voor T = 101 is natuurlijk altijd knecht Ruprecht de winnaar; hij mag immers alle 101 koffers openen. Wij tonen nu aan dat de kans dat Ruprecht wint gelijk is aan 1/3 indien 51≤T≤75 en gelijk is aan 1/2 indien 76≤T≤100. Daarmee is optie 10 het correcte antwoord

(1) Voor 76≤T≤100 wint Ruprecht het spel met een kans hoogstens gelijk aan 1/2: Met kans 1/2 verstopt Grinch beide voorwerpen in koffer 0 en met kans 1/2 verstopt hij de beide voorwerpen in koffer 100. Omdat Ruprecht hoogstens één van de beide koffers 0 en 100 kan openen zal zijn kans om te winnen nooit groter zijn dan 1/2.
(2) Voor 51≤T≤75 wint Ruprecht het spel met kans hoogstens gelijk aan 1/3: Met kans 1/3 verstopt Grinch beide voorwerpen in de koffers 0 en 25 (Mogelijkheid A), met kans 1/3 in de koffers 25 en 75 (Mogelijkheid B) en met kans 1/3 in de koffers 75 en 100 (Mogelijkheid C). Omdat Ruprecht hooguit één van de koffers 0 en 75 mag openen en hoogstens één van de koffers 25 en 100, hoeft hij hoogstens één van de drie mogelijkheden A, B, C verder te inspecteren.
(3) Voor76≤T≤100, wint Ruprecht het spel met een kans minstens gelijk aan 1/2: Met kans 1/2 opent Ruprecht de koffers 25,..., 75 (Mogelijkheid A) en met kans 1/2 opent hij de koffers 25,..., 100 (Mogelijheid B). In geval Grinch beide voorwerpen in de koffers 0,..., 75 verstopt, dan wint Ruprecht met kans 1/2 bij mogelijkheid A. In geval Grinch een of beide voorwerpen in de koffers 76,..., 100 verstopt, dan wint Ruprecht met kans 1/2 bij mogelijkheid B.
(4) Voor 51≤T≤75, wint Ruprecht het spel met een kans van tenminste 1/3:

• Mogelijkheid A: Met kans 1/3 opent Ruprecht de koffers 0, 1,..., 50.
• Mogelijkheid B: Met kans 1/3 opent Ruprecht de koffers 50,..., 100.
• Mogelijkheid C: Met kans 1/3 opent Ruprecht in eerste instantie de koffers 50, 51, 52,... Indien hij een voorwerp ontdekt, dan opent hij daarna de koffers 49, 48, 47,....

Indien Grinch beide voorwerpen in de koffers 0,..., 50 verstopt, dan wint Ruprecht met een kans van 1/3 bij mogelijkheid A.
Indien Grinch beide voorwerpen in de koffers 50,..., 100 verstopt, dan wint Ruprecht met een kans van 1/3 bij mogelijkheid B.
Indien Grinch een van de twee voorwerpen in de koffers 0,..., 49 verstopt, en de andere in de koffers 51,... 100, dan wint Ruprecht bij mogelijkheid C met een kans van 1/3.

Voorbeeld van een Mathekalender opgave:

Een adventskalender maakt de aanloop naar de feestdagen spannend doordat in de periode van 1 tot en met 24 december dagelijks een luikje van de kalender kan worden geopend, waarachter een lekkernij (meestal van chocola) wordt verborgen. De Mathekalender is een variatie daarop. De wiskundige puzzels zijn vaak opgaven in de sfeer van de adventstijd (1 december-24 december), waarin de kerstman, zijn knechten en andere fictieve wezens een figurerende rol spelen. Een voorbeeld is de opgave van het kofferspel met Ruprecht, een knecht van de Kerstman en de Grinch een monsterlijk wezen dat normaal afgezonderd op een berg leeft:

In een lange rij staan 101 koffers, die op een lopend genummerd zijn met de getallen 0,1, 2, ..., 100. De Grinch en Knecht Ruprecht spelen met deze koffers het zogenaamde T-koffer-spel (waarbij T een positief geheel getal is).
De Grinch kiest twee getallen x en y met 0≤x≤100, 0≤y≤100 en |x-y|≤50, en verstopt een kurkentrekker in koffer x en een fles rum in koffer y. Alle andere koffers blijven leeg.
Knecht Ruprecht mag dan in de rij in totaal T koffers openmaken: de eerste koffer mag Ruprecht willekeurig kiezen. Elke volgende koffer mag alleen geopend worden, wanneer aangrenzend links of rechts daarvan reeds een koffer geopend is.
Knecht Ruprecht wint het spel, wanneer hij zowel de kurkentrekker als de fles rum vindt;anders wint de Grinch. Beide spelers maken hun keuzes die voor henzelf het meest gunstig zijn.
We definiëren p (respectievelijk q en r) als de kans dat Ruprecht het 60-kofferspel (respectievelijk het 70-kofferspel, en het 80-kofferspel) wint. Welke van de volgende uitspraken is waar?

1. p = 30/101, en q = 40/101, en r = 50/101.
2. p = 60/101, en q = 70/101, en r = 80/101.
3. p = 3/9, en q = 4/9, en r = 5/9.
4. p = 3/10, en q = 4/10, en r = 5/10.
5. p = 3/11, en q = 4/11, en r = 5/11.
6. p = 3/12, en q = 4/12, en r = 5/12
7. p = 1/6, en q = 1/3, en r = 2/3.
8. p = 1/4, en q = 1/3, en r = 1/2.
9. p = 1/3, en q = 1/3, en r = 1/3.
10. p = 1/3, en q = 1/3, en r = 1/2.

De oplossing:

Wij maken een analyse die alle mogelijke waarden van T in beschouwing neemt.

Het is duidelijk dat voor T : 50 Grinch altijd wint door bijvoorbeeld de kurkentrekker in koffer 0 en de fles rum in koffer 50 te verbergen. Voor T = 101 is natuurlijk altijd knecht Ruprecht de winnaar; hij mag immers alle 101 koffers openen. Wij tonen nu aan dat de kans dat Ruprecht wint gelijk is aan 1/3 indien 51≤T≤75 en gelijk is aan 1/2 indien 76≤T≤100. Daarmee is optie 10 het correcte antwoord

(1) Voor 76≤T≤100 wint Ruprecht het spel met een kans hoogstens gelijk aan 1/2: Met kans 1/2 verstopt Grinch beide voorwerpen in koffer 0 en met kans 1/2 verstopt hij de beide voorwerpen in koffer 100. Omdat Ruprecht hoogstens één van de beide koffers 0 en 100 kan openen zal zijn kans om te winnen nooit groter zijn dan 1/2.
(2) Voor 51≤T≤75 wint Ruprecht het spel met kans hoogstens gelijk aan 1/3: Met kans 1/3 verstopt Grinch beide voorwerpen in de koffers 0 en 25 (Mogelijkheid A), met kans 1/3 in de koffers 25 en 75 (Mogelijkheid B) en met kans 1/3 in de koffers 75 en 100 (Mogelijkheid C). Omdat Ruprecht hooguit één van de koffers 0 en 75 mag openen en hoogstens één van de koffers 25 en 100, hoeft hij hoogstens één van de drie mogelijkheden A, B, C verder te inspecteren.
(3) Voor76≤T≤100, wint Ruprecht het spel met een kans minstens gelijk aan 1/2: Met kans 1/2 opent Ruprecht de koffers 25,..., 75 (Mogelijkheid A) en met kans 1/2 opent hij de koffers 25,..., 100 (Mogelijheid B). In geval Grinch beide voorwerpen in de koffers 0,..., 75 verstopt, dan wint Ruprecht met kans 1/2 bij mogelijkheid A. In geval Grinch een of beide voorwerpen in de koffers 76,..., 100 verstopt, dan wint Ruprecht met kans 1/2 bij mogelijkheid B.
(4) Voor 51≤T≤75, wint Ruprecht het spel met een kans van tenminste 1/3:

• Mogelijkheid A: Met kans 1/3 opent Ruprecht de koffers 0, 1,..., 50.
• Mogelijkheid B: Met kans 1/3 opent Ruprecht de koffers 50,..., 100.
• Mogelijkheid C: Met kans 1/3 opent Ruprecht in eerste instantie de koffers 50, 51, 52,... Indien hij een voorwerp ontdekt, dan opent hij daarna de koffers 49, 48, 47,....

Indien Grinch beide voorwerpen in de koffers 0,..., 50 verstopt, dan wint Ruprecht met een kans van 1/3 bij mogelijkheid A.
Indien Grinch beide voorwerpen in de koffers 50,..., 100 verstopt, dan wint Ruprecht met een kans van 1/3 bij mogelijkheid B.
Indien Grinch een van de twee voorwerpen in de koffers 0,..., 49 verstopt, en de andere in de koffers 51,... 100, dan wint Ruprecht bij mogelijkheid C met een kans van 1/3.

search
search

Voorbeeld

Voorbeeld van een Mathekalender opgave:

Een adventskalender maakt de aanloop naar de feestdagen spannend doordat in de periode van 1 tot en met 24 december dagelijks een luikje van de kalender kan worden geopend, waarachter een lekkernij (meestal van chocola) wordt verborgen. De Mathekalender is een variatie daarop. De wiskundige puzzels zijn vaak opgaven in de sfeer van de adventstijd (1 december-24 december), waarin de kerstman, zijn knechten en andere fictieve wezens een figurerende rol spelen. Een voorbeeld is de opgave van het kofferspel met Ruprecht, een knecht van de Kerstman en de Grinch een monsterlijk wezen dat normaal afgezonderd op een berg leeft:

In een lange rij staan 101 koffers, die op een lopend genummerd zijn met de getallen 0,1, 2, ..., 100. De Grinch en Knecht Ruprecht spelen met deze koffers het zogenaamde T-koffer-spel (waarbij T een positief geheel getal is).
De Grinch kiest twee getallen x en y met 0≤x≤100, 0≤y≤100 en |x-y|≤50, en verstopt een kurkentrekker in koffer x en een fles rum in koffer y. Alle andere koffers blijven leeg.
Knecht Ruprecht mag dan in de rij in totaal T koffers openmaken: de eerste koffer mag Ruprecht willekeurig kiezen. Elke volgende koffer mag alleen geopend worden, wanneer aangrenzend links of rechts daarvan reeds een koffer geopend is.
Knecht Ruprecht wint het spel, wanneer hij zowel de kurkentrekker als de fles rum vindt;anders wint de Grinch. Beide spelers maken hun keuzes die voor henzelf het meest gunstig zijn.
We definiëren p (respectievelijk q en r) als de kans dat Ruprecht het 60-kofferspel (respectievelijk het 70-kofferspel, en het 80-kofferspel) wint. Welke van de volgende uitspraken is waar?

1. p = 30/101, en q = 40/101, en r = 50/101.
2. p = 60/101, en q = 70/101, en r = 80/101.
3. p = 3/9, en q = 4/9, en r = 5/9.
4. p = 3/10, en q = 4/10, en r = 5/10.
5. p = 3/11, en q = 4/11, en r = 5/11.
6. p = 3/12, en q = 4/12, en r = 5/12
7. p = 1/6, en q = 1/3, en r = 2/3.
8. p = 1/4, en q = 1/3, en r = 1/2.
9. p = 1/3, en q = 1/3, en r = 1/3.
10. p = 1/3, en q = 1/3, en r = 1/2.

De oplossing:

Wij maken een analyse die alle mogelijke waarden van T in beschouwing neemt.

Het is duidelijk dat voor T : 50 Grinch altijd wint door bijvoorbeeld de kurkentrekker in koffer 0 en de fles rum in koffer 50 te verbergen. Voor T = 101 is natuurlijk altijd knecht Ruprecht de winnaar; hij mag immers alle 101 koffers openen. Wij tonen nu aan dat de kans dat Ruprecht wint gelijk is aan 1/3 indien 51≤T≤75 en gelijk is aan 1/2 indien 76≤T≤100. Daarmee is optie 10 het correcte antwoord

(1) Voor 76≤T≤100 wint Ruprecht het spel met een kans hoogstens gelijk aan 1/2: Met kans 1/2 verstopt Grinch beide voorwerpen in koffer 0 en met kans 1/2 verstopt hij de beide voorwerpen in koffer 100. Omdat Ruprecht hoogstens één van de beide koffers 0 en 100 kan openen zal zijn kans om te winnen nooit groter zijn dan 1/2.
(2) Voor 51≤T≤75 wint Ruprecht het spel met kans hoogstens gelijk aan 1/3: Met kans 1/3 verstopt Grinch beide voorwerpen in de koffers 0 en 25 (Mogelijkheid A), met kans 1/3 in de koffers 25 en 75 (Mogelijkheid B) en met kans 1/3 in de koffers 75 en 100 (Mogelijkheid C). Omdat Ruprecht hooguit één van de koffers 0 en 75 mag openen en hoogstens één van de koffers 25 en 100, hoeft hij hoogstens één van de drie mogelijkheden A, B, C verder te inspecteren.
(3) Voor76≤T≤100, wint Ruprecht het spel met een kans minstens gelijk aan 1/2: Met kans 1/2 opent Ruprecht de koffers 25,..., 75 (Mogelijkheid A) en met kans 1/2 opent hij de koffers 25,..., 100 (Mogelijheid B). In geval Grinch beide voorwerpen in de koffers 0,..., 75 verstopt, dan wint Ruprecht met kans 1/2 bij mogelijkheid A. In geval Grinch een of beide voorwerpen in de koffers 76,..., 100 verstopt, dan wint Ruprecht met kans 1/2 bij mogelijkheid B.
(4) Voor 51≤T≤75, wint Ruprecht het spel met een kans van tenminste 1/3:

• Mogelijkheid A: Met kans 1/3 opent Ruprecht de koffers 0, 1,..., 50.
• Mogelijkheid B: Met kans 1/3 opent Ruprecht de koffers 50,..., 100.
• Mogelijkheid C: Met kans 1/3 opent Ruprecht in eerste instantie de koffers 50, 51, 52,... Indien hij een voorwerp ontdekt, dan opent hij daarna de koffers 49, 48, 47,....

Indien Grinch beide voorwerpen in de koffers 0,..., 50 verstopt, dan wint Ruprecht met een kans van 1/3 bij mogelijkheid A.
Indien Grinch beide voorwerpen in de koffers 50,..., 100 verstopt, dan wint Ruprecht met een kans van 1/3 bij mogelijkheid B.
Indien Grinch een van de twee voorwerpen in de koffers 0,..., 49 verstopt, en de andere in de koffers 51,... 100, dan wint Ruprecht bij mogelijkheid C met een kans van 1/3.

Voorbeeld van een Mathekalender opgave:

Een adventskalender maakt de aanloop naar de feestdagen spannend doordat in de periode van 1 tot en met 24 december dagelijks een luikje van de kalender kan worden geopend, waarachter een lekkernij (meestal van chocola) wordt verborgen. De Mathekalender is een variatie daarop. De wiskundige puzzels zijn vaak opgaven in de sfeer van de adventstijd (1 december-24 december), waarin de kerstman, zijn knechten en andere fictieve wezens een figurerende rol spelen. Een voorbeeld is de opgave van het kofferspel met Ruprecht, een knecht van de Kerstman en de Grinch een monsterlijk wezen dat normaal afgezonderd op een berg leeft:

In een lange rij staan 101 koffers, die op een lopend genummerd zijn met de getallen 0,1, 2, ..., 100. De Grinch en Knecht Ruprecht spelen met deze koffers het zogenaamde T-koffer-spel (waarbij T een positief geheel getal is).
De Grinch kiest twee getallen x en y met 0≤x≤100, 0≤y≤100 en |x-y|≤50, en verstopt een kurkentrekker in koffer x en een fles rum in koffer y. Alle andere koffers blijven leeg.
Knecht Ruprecht mag dan in de rij in totaal T koffers openmaken: de eerste koffer mag Ruprecht willekeurig kiezen. Elke volgende koffer mag alleen geopend worden, wanneer aangrenzend links of rechts daarvan reeds een koffer geopend is.
Knecht Ruprecht wint het spel, wanneer hij zowel de kurkentrekker als de fles rum vindt;anders wint de Grinch. Beide spelers maken hun keuzes die voor henzelf het meest gunstig zijn.
We definiëren p (respectievelijk q en r) als de kans dat Ruprecht het 60-kofferspel (respectievelijk het 70-kofferspel, en het 80-kofferspel) wint. Welke van de volgende uitspraken is waar?

1. p = 30/101, en q = 40/101, en r = 50/101.
2. p = 60/101, en q = 70/101, en r = 80/101.
3. p = 3/9, en q = 4/9, en r = 5/9.
4. p = 3/10, en q = 4/10, en r = 5/10.
5. p = 3/11, en q = 4/11, en r = 5/11.
6. p = 3/12, en q = 4/12, en r = 5/12
7. p = 1/6, en q = 1/3, en r = 2/3.
8. p = 1/4, en q = 1/3, en r = 1/2.
9. p = 1/3, en q = 1/3, en r = 1/3.
10. p = 1/3, en q = 1/3, en r = 1/2.

De oplossing:

Wij maken een analyse die alle mogelijke waarden van T in beschouwing neemt.

Het is duidelijk dat voor T : 50 Grinch altijd wint door bijvoorbeeld de kurkentrekker in koffer 0 en de fles rum in koffer 50 te verbergen. Voor T = 101 is natuurlijk altijd knecht Ruprecht de winnaar; hij mag immers alle 101 koffers openen. Wij tonen nu aan dat de kans dat Ruprecht wint gelijk is aan 1/3 indien 51≤T≤75 en gelijk is aan 1/2 indien 76≤T≤100. Daarmee is optie 10 het correcte antwoord

(1) Voor 76≤T≤100 wint Ruprecht het spel met een kans hoogstens gelijk aan 1/2: Met kans 1/2 verstopt Grinch beide voorwerpen in koffer 0 en met kans 1/2 verstopt hij de beide voorwerpen in koffer 100. Omdat Ruprecht hoogstens één van de beide koffers 0 en 100 kan openen zal zijn kans om te winnen nooit groter zijn dan 1/2.
(2) Voor 51≤T≤75 wint Ruprecht het spel met kans hoogstens gelijk aan 1/3: Met kans 1/3 verstopt Grinch beide voorwerpen in de koffers 0 en 25 (Mogelijkheid A), met kans 1/3 in de koffers 25 en 75 (Mogelijkheid B) en met kans 1/3 in de koffers 75 en 100 (Mogelijkheid C). Omdat Ruprecht hooguit één van de koffers 0 en 75 mag openen en hoogstens één van de koffers 25 en 100, hoeft hij hoogstens één van de drie mogelijkheden A, B, C verder te inspecteren.
(3) Voor76≤T≤100, wint Ruprecht het spel met een kans minstens gelijk aan 1/2: Met kans 1/2 opent Ruprecht de koffers 25,..., 75 (Mogelijkheid A) en met kans 1/2 opent hij de koffers 25,..., 100 (Mogelijheid B). In geval Grinch beide voorwerpen in de koffers 0,..., 75 verstopt, dan wint Ruprecht met kans 1/2 bij mogelijkheid A. In geval Grinch een of beide voorwerpen in de koffers 76,..., 100 verstopt, dan wint Ruprecht met kans 1/2 bij mogelijkheid B.
(4) Voor 51≤T≤75, wint Ruprecht het spel met een kans van tenminste 1/3:

• Mogelijkheid A: Met kans 1/3 opent Ruprecht de koffers 0, 1,..., 50.
• Mogelijkheid B: Met kans 1/3 opent Ruprecht de koffers 50,..., 100.
• Mogelijkheid C: Met kans 1/3 opent Ruprecht in eerste instantie de koffers 50, 51, 52,... Indien hij een voorwerp ontdekt, dan opent hij daarna de koffers 49, 48, 47,....

Indien Grinch beide voorwerpen in de koffers 0,..., 50 verstopt, dan wint Ruprecht met een kans van 1/3 bij mogelijkheid A.
Indien Grinch beide voorwerpen in de koffers 50,..., 100 verstopt, dan wint Ruprecht met een kans van 1/3 bij mogelijkheid B.
Indien Grinch een van de twee voorwerpen in de koffers 0,..., 49 verstopt, en de andere in de koffers 51,... 100, dan wint Ruprecht bij mogelijkheid C met een kans van 1/3.